有趣的受体结合学说与推论

在PKPD中，“受体结合”学说大名鼎鼎，我认为与“房室”、“周转”这两个概念一样重要，是现代PKPD的基石。

“受体结合”学说简要说明：

受体结合学说认为，某两种物质会可逆的结合与解离，为了便于描述，将两种物质中的任意一种称之为“药物”另一种称呼为“受体”。

药物和受体会可逆的结合与解离，并一般最终到达平衡：

C∗R∗k_on⇌RC∗k_off

其中：

另外定义：

则有：

这与化学中的离子解离结合、酸碱电离假说等非常类似。

\begin{aligned} C * R * k o n & = R C * k o f f \\ C * R / R C & = k o f f / k o n \end{aligned}

令 $K D = k o f f / k o n$

则，有

K D = k o f f / k o n = C * R / R C

\begin{aligned} K D & = C * R / R C \\ K D * R C & = C * R \end{aligned}

将 $R = R t o t - R C$ 带入，得

\begin{aligned} K D * R C & = C * (R t o t - R C) \\ K D * R C & = C * R t o t - C * R C \\ (K D + C) * R C & = C * R t o t \\ R C & = C * R t o t / (K D + C) \end{aligned}

一般认为药物与受体结合后的复合物产生药效，即RC为药效E，则Rtot为最大药效Emax，由此上述方程可改写为：

E = E m a x * C / (K D + C)

由此，我们得到了经典的Emax模型的方程！

定义 $R O = R / R t o t$

则有：

R O = R C / R t o t

将 $R C = C * R t o t / (K D + C)$ 带入，得

\begin{aligned} R O & = C * R t o t / (K D + C) / R t o t \\ R O & = C / (K D + C) \end{aligned}

由上述公式可知，受体的占有率仅取决于游离的药物浓度C，和亲和力常数KD，而与R或者Rtot的浓度无关。
除了受体占有率使用上述公式，可以发现，其实，药物被受体占有的占有率也使用该公式，即CO=R/(KD+R)，即药物的占有率仅取决于游离的受体浓度R，和亲和力常数KD，而与C或者Ctot的浓度无关。
当受体占有率为50%时，有 $\begin{aligned} R O = R O 50 & = 0.5 \\ 0.5 & = C / (K D + C) \\ 0.5 * K D + 0.5 * C & = C \\ 0.5 * K D & = 0.5 * C \\ C & = K D \end{aligned}$

即，受体占有率为50%时，C=KD；类似的这也使用与药物，即药物占有率为50%时，R=KD；

基于受体占率时计算C，有 $\begin{aligned} R O & = C / (K D + C) \\ R O \times (K D + C) & = C \\ R O \times K D + R O \times C & = C \\ R O \times K D & = C - R O \times C \\ R O \times K D & = (1 - R O) \times C \\ C & = R O \times K D / (1 - R O) \end{aligned}$ 比如，受体占有率RO=20%时，C=0.2×KD/(1-0.2)=4×KD

C * R * k o n = R C * k o f f

将 $C t o t = C + R C$ ， $R t o t = R + R C$ 带入，有

\begin{aligned} (C t o t - R C) * (R t o t - R C) * K o n & = R C * k o f f \\ (C t o t * R t o t - C t o t * R C - R C * R t o t + R C^{2}) * k o n & = R C * k o f f \\ C t o t * R t o t - (C t o t + R t o t) * R C + R C^{2} & = R C * k o f f / k o n \\ C t o t * R t o t - (C t o t + R t o t) * R C + R C^{2} & = R C * K D \\ C t o t * R t o t - (C t o t + R t o t - K D) * R C + R C^{2} & = 0 \end{aligned}

利用一元二次方程求解公式，直接计算出RC的解为：

R C = \frac{((C t o t + R t o t + K D) \pm \sqrt ((C t o t + R t o t + K D)^{2} - 4 * R t o t * C t o t))}{2}

由此，我们就可以根据我们的给药量和受体的总量计算出药物-受体复合物的量了。

(刚开是想到此公式时，觉得有些兴奋似乎发现了些什么，然，一看文章，此公式已经被文章中被使用了。)

今日偶然尝试询问了下gpt同样的问题，它竟然成功的理解了该问题，并给出了正确的推导和正确的答案！

震惊！