文献中公式错误的一些吐槽_CQT建模白皮书中的公式
付永超 / 2025-08-27
1.白皮书中的模型
2017年原始论文中的公式
$$ \Delta QTc_{ijk} = \left( {\theta_{0} + \eta_{0,i} } \right) + \theta_{1} TRT_{j} \left( {\theta_{2} + \eta_{2,i} } \right)C_{ijk} + \theta_{3} TIME_{j} + \theta_{4} \left( {QTc_{i,j = 0} - \overline{{QTc_{0} }} } \right) $$发表后2018年杂志刊登的错误订正后的公式
$$ \Delta QTc_{ijk} = \left( {\theta_{0} + \eta_{0,i} } \right) + \theta_{1} TRT_{j} + \left( {\theta_{2} + \eta_{2,i} } \right)C_{ijk} + \theta_{3} TIME_{j} + \theta_{4} \left( {QTc_{i,j = 0} - \overline{{QTc_{0} }} } \right) $$差异：
原来TRT项和浓度项间缺少加号“+”，订正后加上了加号“+”。
公式中各项的释义：
•ΔQTcijk表示受试者i在干预措施j下的时间k时相对基线变化的QTc。
•θ0表示截距项无干预效应时的总体平均截距。
•η0,i表示截距项θ0相关的随机效应。
•θ1表示干预措施TRTj(j=0:安慰剂， j=0:活性药物)相关的固定效应。
•θ2表示浓度与ΔQTcijk间假设存在的线性关系时的总体平均斜率。
•η2,i表示斜率项θ2相关的随机效应。
•Cijk表示受试者i在干预措施j下的时间点k时浓度。
•θ3表示时间相关的固定效应。
•θ4表示基线QTci,j=0相关的固定效应。
•$\overline{{QTc_{0} }}$表示QTcij0的总体平均值，即基线时(=time 0)时QTc值的平均值。
2.我对白皮书中公式的评论
虽然2018年更新后，公式的错误得到了一些改善，但仍然存在一些错误，我将我的的评论直接在公式各个项的含义中进行评论，评论放置在大括号{}中呈现。
公式中各个项的含义：
•ΔQTcijk表示受试者i在干预措施j下的时间k时相对基线变化的QTc。
•θ0表示截距项无干预效应时的总体平均截距。
•η0,i表示截距项θ0相关的随机效应。
•θ1表示干预措施TRTj(j=0:安慰剂， j=0:活性药物)相关的固定效应。
•θ2表示浓度与ΔQTcijk间假设存在的线性关系时的总体平均斜率。
•η2,i表示斜率项θ2相关的随机效应。
•Cijk表示受试者i在干预措施j下的时间点k时浓度。
•θ3表示时间相关的固定效应。{公式中时间被描述为“TIMEj” ，但结合上下文k表示具体时间点，以及干预措施被描述为“TRTj”，所以此处“TIME**j”是错误的，正确的表述应该为“TIMEk**”}
•θ4表示基线QTci,j=0相关的固定效应。{公式中各个受试者的基线QTc被描述为“QTci,j=0” ，但结合上下文k表示具体时间点，以及以及下文中该概念被表述为QTcij0 ，所以此处“QTci,j=0”是错误的，正确的表述应该为“QTci,k=0”或者是“QTcij0”}
•$\overline{{QTc_{0} }}$表示QTcij0的总体平均值，即基线时(=time 0)时QTc值的平均值。
公式改了一遍还是错误只能感慨做些写作时匆忙与粗糙。
3.正确的白皮书中公式应该为
$$ \Delta QTc_{ijk} = \left( {\theta_{0} + \eta_{0,i} } \right) + \theta_{1} TRT_{j} + \left( {\theta_{2} + \eta_{2,i} } \right)C_{ijk} + \theta_{3} TIME_{k} + \theta_{4} \left( {QTc_{i,k = 0} - \overline{{QTc_{0} }} } \right) $$公式中各项的释义：
•ΔQTcijk表示受试者i在干预措施j下的时间k时相对基线变化的QTc。
•θ0表示截距项无干预效应时的总体平均截距。
•η0,i表示截距项θ0相关的随机效应。
•θ1表示干预措施TRTj(j=0:安慰剂， j=0:活性药物)相关的固定效应。
•θ2表示浓度与ΔQTcijk间假设存在的线性关系时的总体平均斜率。
•η2,i表示斜率项θ2相关的随机效应。
•Cijk表示受试者i在干预措施j下的时间点k时浓度。
•θ3表示时间相关的固定效应。
•θ4表示基线QTci,k=0相关的固定效应。
•$\overline{{QTc_{0} }}$表示QTcij0的总体平均值，即基线时(=time 0)时QTc值的平均值。
关于随机效应的一些假设：
•假设随机效应符合均值为[0,0]的正态分布。
•随机效应矩阵G为无结构的协方差矩阵。
•残差矩阵R符合均值为0的正态分布。
英文版各项含义修订后：
- ΔQTcijk is the change from baseline in QTc for subject i in treatment j at time k;
- θ0 is the population mean intercept in the absence of a treatment effect;
- η0,i is the random effect associated with the intercept term θ0;
- θ1 is the fixed effect associated with treatment TRTj (0 = placebo, 1 = active drug);
- θ2 is the population mean slope of the assumed linear association between concentration and ΔQTcijk;
- η2,i is the random effect associated with the slope θ2;
- Cijk is the concentration for subject i in treatment j and time k;
- θ3 is the fixed effect associated with time;
- θ4 is the fixed effect associated with baseline QTci,k=0;
- $\overline{{QTc_{0} }}$ is overall mean of QTcij0, i.e., the mean of all the baseline (= time 0) QTc values.
It is assumed
- the random effects are normally distributed with mean [0,0]
- and an unstructured covariance matrix G,
- whereas the residuals are normally distributed with mean 0 and variance R.
其他：
本篇先吐槽至此。
参考文献：
2017:Scientific white paper on concentration-QTc modeling
2018:Correction to: Scientific white paper on concentration-QTc modeling