PML(6)轻松构建多种模型拟合S型曲线
付永超 / 2020-06-11
前言:
本案例介绍如何使用PML(Phoenix建模语言)轻松构建出多种对S形曲线及进行拟合的模型。
使用的数据:
数据取自由Heyes和Brown的报告的叶子的生长数据(1956)。
含水量对距离散点图如下,可以看到生成的图形是S形的:
目的:
使用下述的一系列S形模型拟合数据:
- Logistic(逻辑分布累计分布曲线)
- Gompertz(戈珀兹曲线)
- Weibull(韦伯分布累计分布曲线)
- Richards(Richards增长曲线)
- Morgan-Mercer-Flodin
- Hill(希尔方程)
通过该案例展示Phoenix Model操作对象在参数名称和方程方面的灵活性。
- 为方便起见, 所有模型都参数化α, β, γ, δ。
具体模型的介绍与实现:
1.Logistic模型和方程
特点:
- Logistic模型是最简单的S形模型。
- 下渐近线为0,上渐近线为Y的最大值.
- 该模型关于拐点是对称的。
- 应该用于模拟拐点大约是最大Y的1/2的过程。
方程:
3个参数:
- α=曲线中Y的最大值
- β=曲线的中点
- γ=曲线的陡度
对应的PML代码:
2. Gompertz模型和方程
特点:
- Gompertz模型最初用于模拟人类死亡率,先验假设一个人的死亡抵抗力随着年龄的增长而降低。今天的应用实例包括精算科学和细菌生长曲线建模。
- 下渐近线为0,上渐近线为Y的最大值.
- 是广义Logistic函数的特例。其与Logistic函数的不同是S型两边不对称,拐点偏前。
方程:
3个参数:
- α=曲线中Y的最大值
- β=生长速度b
- γ=生长速率c
对应的PML代码:
3. Weibull模型和方程
特点:
- 累积Weibull模型也称为“拉伸指数”函数。 它添加了一个参数delta,允许修改拐点。
- 上渐近线是Y的最大值,下渐近线可以是非零。
- 应用:通常用于在固体剂型溶解期间模拟粒度。
方程:
4个参数:
- α = 曲线中Y的最大值 (上部渐近线)
- β = 下渐近线
- γ = 控制拐点的 x 值
- δ = 曲线的陡峭度
对应的PML代码:
4.Richards模型和方程
特点:
- Richards模型对非对称S型曲线建模具有很强的灵活性。它还使用增量参数修改拐点。
- 上渐近线是最大 Y, 下渐近线可以是非零。
- 应用: 增长率曲线
方程:
4个参数:
- α = 曲线的最大 Y 值 (上部渐近线)
- β = 生长速率
- γ = x 轴上的拐点
- δ = 控制拐点的 x 值
对应的PML代码:
5.Morgan-Mercer Flodin模型和方程
特点:
- Morgan-Mercer-Flodin模型首先用于模拟生物效率,例如对营养素存在的反应。允许不对称增长(即拐点不一定是1/2最大的)。
- 上渐近线是最大Y,下渐近线可以是非零。
- 应用:增长率曲线
方程:
4个参数:
- α=曲线的最大Y值(上渐近线)
- β=增长率
- γ=增长率
- δ=控制拐点的x值
对应的PML代码:
6.Hill模型和方程
特点:
- Hill模型最初用于描述氧与血红蛋白结合的动力学。它现在被广泛用于模拟药效学。使用诸如Emax和EC50之类的参数名称,这是经典的sigmoid Emax模型。
- 指数gamma可用于修改拐点。 E0的加法允许Y截距为非零。
- 上渐近线是最大Y,下渐近线可以是非零。
方程:
4个参数:
- α=下渐近线(E0)
- β=上渐近线(Emax)
- γ=拐点的x值(EC50)
- δ=指数控制曲线的陡度(n)
对应的PML代码:
对应的Phoenix Model中的内置模型:
带有基线的S型Emax模型
对应的使用药效学参数命名的PML代码:
使用药效学Emax模型参数估算初值估算技巧估算当前Hill方程参数初值:
- E0 = 1,来自X = 0处的探索图
- Emax = 20,来自X = 20的探索图
- EC50 = 10,来自½Emax
- N =指数任意设定为1(来自简化模型)
结果:
所有模型的观察和预测(水分含量)对距离图:
模型参数估计值(Theta)表格比较:
信息判据(Overall)表格比较:
参考文献:
Gabrielsson、药动学和药效学数据分析:概念和应用, 第五版,(2015),PD11案例。